「6 ÷ 2(1+2) = ?」 的爭議

6 ÷ 2(1+2) = ?

這是小學幾年級的數學題?大概誰都覺得太簡單了吧?想不到的是，這樣的題目在美國的臉書上引起了爭論。網上雜誌 Slate 上有文章介紹這場風波，題目是〈這笨蛋數學題的答案是什麼?人們都在臉書上攪渾什麼?〉我心想，美國人的數學也太差勁了，這麼簡單的數也算不清了?但也好奇：裡面究竟有什麼文章?

你試算一算，答案是1?還是9?

你可能這樣算：6 ÷ 2(1+2) = 6 ÷ 2(3) = 6 ÷ 6 = 1 。──方法一。

也可能這樣算：6 ÷ 2(1+2) = 6 ÷ 2 x (1+2) = 3 x (1+2) = 3 x 3 = 9。──方法二。

好了，哪一個才是正確答案?爭論來了，兩個答案都有支持者。據那篇文章說，兩個答案都不能說「不對」。

這同樣有爭議。教學是公認最「科學」的，任何算式都應只有一個答案，1就是1，2就是2，非對即錯，不可能模稜兩可，不會像文化、藝術、歷史等人文學科領域的判斷那樣往往憑主觀作出。

我算出來的答案是 1，可是把算式輸入到谷歌，答案是9，而據說ACT, SAT, 或 GRE 考試──假設試卷會出這樣的「笨蛋」題目──只接受9這個答案。這真讓我沮喪。

據說，方法一在「歷史上」是對的，即把算式中的2(1+2)理解為一個整數，例如2a，算式中的(1+2)就是a，等於2(3)，等於6。算式中第一個6是被除數，等於分數中的分子；後面的2(1+2)是除數，等於分母。於是6 ÷ 6 等於1。

文章說，美國1907、1910、1912版的高中數學教科書都「建議」，計算乘除數時，應按算式中乘除符號從左到右出現的先後次序計算。這就是方法二的運算。可是數學歷史學家Florian Cajori一九二八到二九年在《數學符號史》(A History of Mathematical Notations)一書中指出：「算術題或代數題若含有 ÷ 和 x 號，目前並沒有協議該先處理哪個符號。」八十多年過去了，現在是否有協議?文章沒有說明。

我不知道那算式是哪裡冒出來的。我認為，這算式的標示本身有問題，它應該可以按需要標示得較清晰，例如：

1. 6 ÷ 2 x (1+2) = ?

2. 6 ÷〔2 x (1+2)〕= ?

3.     6

   ─── = ?

   2 (1+2)

數學有很悠久的歷史，可是標誌算式的方法不斷在改進。如今大家熟知的 ÷ 號，以前有過五六個版本，有些現在還使用，例如「：」和「 /」 還用來表示比例、分數，1：2，和1/2，都等於 1 ÷ 2。括號是為了標示清楚計算次序而出現的，否則ab/cd 是表示 (ab)÷(cd) ，還是 ((ab)÷c)÷d，還是……就不清不楚了。上述算式就沒有適當借助括號。

文章指出，「運算次序」至今沒有世界公認的規則。

這很出人意料之外。當人們越來越「科學」，越來越喜歡把複雜的問題量化為數字以示夠「科學」的時候，我們在算術的基本問題上據然還那麼「說不準」。

從這簡單的算術題可以看到兩點：一是世界真複雜，少輕言「普世」；二是面對問題，先要弄清楚問題的真正意思是什麼，提出問題的人可能連自己都弄不清楚問題是什麼呢。
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怎麼算這簡單的算式，YouTube 居然也有不同展示：
http://www.youtube.com/watch?v=JPe1aBW_YC

凌亂，不必過分抗拒

愛因斯坦的書桌

愛因斯坦的書桌之凌亂是「臭名昭著」的。對於別人的批評，他曾經這樣回應：「假若桌子亂七八糟就代表腦袋亂七八糟，那麼桌子空空蕩蕩代表什麼?」(If a cluttered desk is a sign of a cluttered mind, then what are we to think of an empty desk?)很多書桌、房間亂七八糟的人面對批評，常拿這話作擋箭牌。

這話不過是愛因斯坦式幽默的戲譃語，如果由此進一步推論，認為桌子、房間之凌亂有助思考，可以嗎?原來真的有學者做這樣的研究。

荷蘭有四百年歷史的格羅寧根大學(University of Groningen)的研究人員研究不同環境對工作效率和消費者行為的影響，發現凌亂的環境，反而會讓人的思維更加簡單、集中、明晰，效率較高。按照傳統思維，雜亂環境容易干擾思考、判斷。

研究人員的解釋是，視覺和精神上的干擾，反而會迫使人們集中精神，理清思路，激發創造力。

書桌、房子是凌亂一點好，還是整潔一點好?這雖然與工作效率有關，但我認為更重要的因素是個性。有人就是愛整潔，什麼都井井有條；有人就是不愛受拘束，你把東西都給收拾好，轉眼又會讓他或她弄得天翻地覆。這與性別無關，男女都會這樣。朋友兩個孩子，就是兒子把自己的房間弄得有條不紊，而女兒讓自己的房間一榻糊塗。

我以為，房子不可太凌亂，卻也不必太整潔、簡潔。

一位獨住的女鄰居有一天到我家來，批評我家雜物太多了，太凌亂。相對於她的家，的確是這樣。這位女士的家十分簡單，客廳除了一張沙發、一張小桌、一架鋼琴、一幅掛畫、一台電視機，就什麼都沒有了。廚房也簡單，因為從不舉炊。這樣的住所根本凌亂不起來，簡潔整齊得近乎冷清了，欠了家裡應有的生活氣息。

這有點像去參觀的新樓盤示範單位，所有布置都美輪美奐，可就是沒有日常生活的痕跡。只要有正常生活的家庭住進去，示範單位的華美馬上就會大打折扣。

生活的地方一定該有生活氣息才對，即使有點凌亂也不可怕，從中可以流露生活在其中的人的個性、品味。散落的書報雜誌、生活用品、隨便貼上的照片等等，是為方便生活而存在的，而對於客人來說，這些無序的東西往往最有趣。去到同事的辦公室、桌邊，我愛看看有什麼有趣的東西。從這些東西，可以加深對一個人的認識，雖然你不是為了了解這個人去觀察這些東西的。

遇上有朋友新居入伙了，去參觀，有時會失望。為什麼?不是布置不華美，而是因為新而欠了生活留痕，像個示範單位。

在一個地方住得久了，總會有日積月累的各種雜物，以至造成凌亂。對這些雜物，要丟棄不易，因為都連繫着某段記憶。雜物繁多，以至亂七八糟，未必代表記憶豐富。但一個沒有雜物的房間、房子，像酒店的住房，記憶一定受壓抑。你願意長期住在空蕩蕩的酒店房間中嗎?

平板電腦的使用更廣泛

近年最成功的IT產品，我相信是平板電腦。不過兩三年間，現在到處都見到有人攜帶着到處使用了。我還注意到，使用者越來越多長者。日前在公園裡，就見到兩位長者在長椅上對着一部iPad談得興致盎然。

從傳來的斷斷續續話語中知道，是一人向另一人推薦這先進科技新玩意，說可以看報紙、看電視劇，還可購物等等。

不知道喬布斯當初推出iPad 時，是不是考慮到年老人群的需要，事實則是，iPad 越來越成為長者的恩物。它的出現，讓長者幾乎無縫地與最先進的通訊科技銜接起來了。他們只要稍加指導，就可以使用，可以在網上瀏覽、搜尋信息，也可以收發電子郵件。它與人為善的使用介面，一下子消除了長者們對科技新產品的恐懼。

日前與一位長者交談，對方在努力使用桌面電腦，可是要以中文發出電子郵件很廢時失事，因為只可以靠拼音，輸入一個字常常要不斷「試錯」。我馬上建議她買一部平板電腦。她是音樂家，更可以從中找到無窮樂趣。美國有人在網上推薦十大最適合長者在iPad上使用的應用軟件(apps)，其中一個叫Virtuoso (大師)，是進入網上音樂世界之門，還有模擬的鋼琴鍵盤。由於長者已成為平板電腦一個重要的使用人群，很多以長者為對象的應用軟件正在出現。

美國一位社工通過工作認識到iPad 對美國長者的極大好處，他說：「iPad 對於長者的潛在好處決不可以低估。讓我驚奇(以及欣喜)的是，它的最大好處，是為長者、子女、孫子女之間建立了一個共用平台。」

到網上搜尋一下，可以發現很多關於長者使用平板電腦的討論、議論，以至爭論。例如有人提出想給父母或祖父母買一部平板電腦，詢問買哪個品牌好?爭論就很熱烈。有人認為iPad 好，最方便易用，馬上就有人反駁說，用Android 平台的也沒有問題，甚至更好用。iPad 首先佔領市場，有先入為主之利；一不留神，我也會把iPad 變成平板電腦的用義語，把Samsung 等牌子的平板電腦忽略了。

我一直覺得，平板電腦只適用於接收、展示，而不適用於輸入工作，例如寫作。現在知道，情況也在改變，因為已有配合使用的鍵盤，打字不必用手指去畫了。

我也至今不大接受拿着它看書，這看法可能也要改變。一是有了迷你版的平板電腦，拿在手上輕便多了。二是據研究說，長者在iPad 上看書比看傳統書籍快兩倍。據德國古騰堡大學(Johannes Gutenberg University)學者為一家電子書公司做的研究，雖然電子書和電子書讀者都在增加，但人們對電子書仍有疑慮，擔心視力受損。研究中，接受測試者分別以Kindle(以電子墨水顯示)，iPad 和傳統書閱讀，研究人員用儀器測量他們的眼球活動和腦電波反應。結果是，iPad 上的文字信息得到最快的吸收，它除了讓人看得最清晰，還便於處理信息，儘管所有參與者都說最喜歡看的還是印刷的書。

我一直推薦較年長的朋友、特別是不懂上網或少上網的朋友學用平板電腦，也推薦朋友教自己的父母使用平板電腦，但自已很少使用。看來，我也得換換腦筋。

不動也可運動：你沒有藉口不做運動

雙手相握，用力互推，誰都可以做到的動作。

人們普遍重視起運動來了，可是仍然聽到有人以沒有時間為理由不做運動。其實，如果你真的想做運動，只有幾秒鐘的空檔也可以運動一下──任何時候、任何地方都可以做！如果你每天有幾分鐘做這樣的運動，堅持下去，效果會很不錯，例如練出不錯的身體線條，包括腹肌。

這種運動的英文名稱是 isometric exercise，我不知道是不是有中文譯名。Isometric 這字源自希臘字根 iso (相同的、同一的)加 metric(距離)，顧名思義，這是「不動」的運動。

「運動」可以理解為體育活動，也可以理解為物體的移動，都與「動」有關。「不動」的運動因此很費解。可是 isometric exercise 真的不必動，手、腳、身軀都不必活動。它又叫static strength training，可以稱為「靜態力量鍜練」。

難做嗎？一點不難，誰都可以做，有時你不自覺地就做了，譬如握緊拳頭、咬緊牙關、擰毛巾到最後的靜止、坐在馬桶上的發力……，都是這樣的「運動」。運動員比賽時，也不是非動不可的，有時會做出靜止動作，靜止的時間還規定不可以太短。體操比賽中，吊環、雙槓、自由體操比賽都有這樣的動作，如十字懸垂、直角支撐等。這都是高難度動作，一般人做不來，但可以做毫無難度的動作。

我就一直在做，只是不知道這真是一種運動，而且有個正式的名稱而已。

我習慣了每天都做的是，刷牙時拉緊腹部，就像你要把六塊腹肌展示出來那樣。這樣做一定要身體向前微彎，而刷牙一定要彎腰，動作一樣。那幾分鐘於是便可以充分利用。如果要加大運動量，還可以提肛，把小腿、大腿的肌肉盡量拉緊。不要小看這幾分鐘，你試試，第二天可能發覺腹部、兩腿痠痛。

一位醫生多年前介紹我做這個動作，手與頭角力，
以鍜練頸部肌肉，減輕頸椎負荷。

這樣的運動很有好處。一般做運動時，有關肌肉組織其實不是全部參與、不是高度參與，而做靜止運動時，例如盡力握緊拳頭，你雖然不必擊倒什麼、舉起什麼，但有關肌肉組織都參與了。你的發力到自己的極限為止，也就不用擔心使用機械設施超逾極限而受傷。它是靜止的，所有關節都不動，也就沒有關節因為過量活動而磨損之憂。

不要以為它不動就小覷它的運動量，做一兩分鐘也可以叫你渾身發熱、冒汗、氣喘。它可以有一個很好的應用：天寒地凍的晚上如果沒有電熱氈，被窩好久暖和不起來怎麼辦？不妨放鬆一下，然後把全身肌肉──從頭到腳趾──繃緊，堅持幾秒，放鬆，再做。快者半分鐘，慢者一分鐘，被窩就不冷了，而經過幾個回合的一張一弛，你很快便入睡。

日前收到電郵，介紹說站着做全身的 isometric exercise 可以治高血壓云。我不知道是真是假。但有一點要注意：無論做身體哪個部位的肌肉靜態鍜練，都不要閉氣去做，要保持呼吸，給肌肉送氧。也不必追求極限，繃緊到80~90%也就可以了，更不要一下子發力到100%。你真有高血壓，更要注意。

這樣的運動很適合長者做，因為它不必活動關節，又可以隨意調節。它主要是對肌肉的鍜練。人到三十歲，肌肉就開始慢慢萎縮，體重的負荷越來越落在骨絡上。可是骨絡也隨着年齡增長而有骨質疏鬆的問題。增強肌肉力量，也就可以減輕骨絡的負擔。女性的釫質流失較快而肌肉較少、力量較弱，隨着年齡增長，更應重視肌肉鍜練。

肌肉這東西，正合洋人一句話：Use it, or lose it （用則長，不用則廢）。不論什麼年紀，肌肉都可以在鍜煉下成長起來，否則就自然流失。

那麼，做做「靜態力量鍜練」吧。在YouTube 上輸入 isometric exercise，可以找到很多示範錄像。你會發覺，坐在辦公桌前、等升降機、搭地鐵、走路……的時候，都可以做運動──誰也不知道。你還有藉口不做運動嗎?
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參考文章：http://www.sport-fitness-advisor.com/isometric-exercises.html
YouTube 的示範：http://www.youtube.com/watch?v=kA78Dtu2-q4

運動：不以出汗多勝，不以量勝

日前在一個晚宴上，同桌的朋友不知怎的談起運動來了。從旁聽中，我發覺有些概念很多人錯了，例如出汗。

現在很多人做運動是為了減肥，務求運動可以讓體重降下來。這要一定的運動量才能達到，而運動量不易量度，於是很多人便以出汗多少來做標準，出汗越多越好。聽朋友說，現在有一些專供運動時穿在身上的裝備，務求讓人多出汗。這是為了滿足減肥者需要而出現的，據說可以針對身體某一部位進行減肥。我對之將信將疑，反而擔心追求出汗會弄巧反拙。

汗的作用是調節體溫。人一運動，血液流動加快，體溫就上升。出汗後皮膚濕潤，汗液蒸發時帶走皮膚的熱量，人會覺得涼快些。天冷了，汗腺和毛孔收縮，流汗減少，以防體溫散失。不過在正常情況下，一個人24小時內會不知不覺蒸發約600至700毫升水。人於是要不斷補充水分，以維持人體正常運轉所需水量，否則就會缺水。通常，人在出汗後都會覺得口渴，這是大腦向你發出要補充水分的訊號。

出汗後不及時補水，後果可能很嚴重。大量出汗後，體液減少，如果不及時補充，會導致血容量下降，心率加快，排汗減少，散熱能力下降，體溫上升，機體電解質紊亂和酸鹼平衡紊亂，引起脫水，嚴重時甚至導致中暑。

脫水會影響一些主要器官生理功能，如心臟負擔加重、腎臟受損。鈉、鉀等電解質的大量丟失可導致神經-肌肉系統障礙，引起肌肉無力、肌肉痙攣(抽筋)等症狀。脫水還會產生疲勞感，使運動能力下降。

這樣，運動脫水後要補充水分是自然的需要。你喝水解渴後，因為排汗而下降了的體重，馬上就會抵銷，除非你甘願冒體內器官受損的風險。運動減肥的作用，是通過消耗積聚的脂肪而達到的，與流汗多少沒有直接關係。流汗多少，只可以作為運動量的一個標誌而己，而這又與個人的體質有關。有些人汗腺發達，出汗特別多，有些出汗會少些。

不但運動不必追求出汗的量，即使運動本身也不必追求量。新的研究發現，閒適點做運動，有勞有逸，比每天都激烈運動好。

美國阿拉巴馬州伯明翰大學曾經找來72名平常少做運動的女士來做研究，她們60至74歲，隨機分配為三組做運動。運動分舉重和耐力運動(跑步、踩單車)兩種，一天做一種。第一組每星期運動兩天，第二組四天，第三組六天。每次的運動量逐步增加，到最後每次達到40分鐘，如是者四個月。

最後的測試發現，在達到的力量與耐力上，只運動兩天的與運動六天的沒有分別。效果最好的是運動四天的。另一差別是，運動四天的，在運動之外的日常活動中更有活力，每日多消耗225卡路里熱量。運動兩天的，每天消耗的熱量增加100卡路里。可是運動六天的，因為每天運動後太疲累，每天日常消耗的熱量反而減少200卡路里。

這很好地說明，運動不可少，但不必過於求量，年紀大了更加如是。

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文章參考：

http://well.blogs.nytimes.com/2013/02/13/why-four-workouts-a-week-may-be-better-than-six/?src=me&ref=general

維園的春意

昨天約了朋友中午在維園旁一家酒樓茶聚，趁着之前的空檔到維園走走，拍拍照片。一年一度在維園舉行的花展還在籌備，而場地之外，驚蟄已過的維園，堪稱春意盎然了。

一早起來，看到維港在一縷朝陽斜照下，惺忪初醒。天空晴朗無雲，但有薄薄的煙霞，山色樓房都有點朦朧。高聳的幾幢大廈得朝陽之先，反照出橘紅的光芒特別耀眼。近日上班之前，已多次見到這景色，但未及拍攝，昨天才補上了。

從天台下望，維園的樹色很豐富多彩。全樹換上新嫩綠色的，該有大葉榕、楓樹；在綠叢中點綴出火紅的，該是紅棉了。提到楓樹，一定先想到它秋天的一身紅裝。其實初春時楓樹的嫩葉也非常逗人喜愛。香港很多地方有楓香樹，維園也有不少，這個時節就展現出你見到一定欣喜的姿彩來。楓葉的形狀漂亮，初出時很薄，在陽光映照下，重重疊疊下的色彩層次非常豐富。

木棉花在盛放，以天空、以大廈作背景，都可以拍出可觀的照片來。

大葉紫薇則展現出另一番影象，它的紅葉還未落盡，色彩斑斕，盡展風情。

杜鵑花盛大的花潮在醞釀着，最熱鬧的時刻可能要兩三星期後才到來，但花已一叢叢地開放了，蜜蜂已忙於甜蜜的鑽營。

那些年的清純模樣

吳哥窟的賣花始娘

一位朋友的舊照片被人放上「臉書」，引起一片嘩然，招來一千六百幾個like，過半百人留言。照片沒有什麼驚人內容，不過是一張非常普通、非常規矩的學生相而已，就是要貼在學校手冊上的那種，今天叫證件相。引起嘩然，是因為相中少女那樣的清純模樣在當今世界即使未至絕跡，亦極度稀缺了。於是乎，眾皆驚嘆！──不能叫「驚艷」，「艷」字與那清純樣貌八輩子沾不上邊。

照片是一位新晉青年學者放到「臉書」上去的，說相中人是他一位「報業 auntie」，是他從外婆仿如寶庫的舊照片堆中發掘出來的；據說，又是城中某「才子」少年時代的「女神」。學者說，那些年，所有人都給人很清純的感覺。

相信，任誰看了那照片都會有相同的感覺。原因首先是樣貌清純，看來十三四歲，眉目神清氣朗，抿着嘴唇靦覥地微笑。其次是打扮清純。或者應該說，根本沒有什麼打扮，一頭清湯掛麵，一襲白襯衫，完全沒有多餘的飾物。照片還是黑白的，什麼色彩都欠奉。照片倒是認真拍攝的，那年頭，這些照片要到照相館拍攝，從燈光到姿勢──雖然只是正面坐姿──都經過攝影師的認真擺布。這大概是六七十年代之交的照片吧?

重看那個多年代的照片，的確有耳目一新的感覺，這照片因相中人的清純更讓人眼前一亮。這恰如李白兩句詩的描述：

清水出芙蓉，

天然去雕飾。

句中的芙蓉花，就是荷花。

這樣的清純，在那些年，是自然而然的事。不是說社會上沒有人作精描巧飾的打扮，而是這與普羅大眾距離遙遠。一般人，都簡簡單單、清清純純地過日子。如今，這樣的簡單、清純讓人覺得新鮮、稀罕，恰恰說明這個世界太虛飾、太污濁了。那些年讓人懷念，則不僅是那時女子的樣子清純。

照片中的朋友，恰與我認識的一位現代少女形成強烈對比。她剛讀完中學，正在念服裝設計課程。多年來，都知道她愛打扮，愛玩 cosplay，但不久前見到她，仍然對她的濃妝艷抹大吃一驚。這個年華的女孩子，青春美本是最大的本錢，可是她用種種化妝品把這些都掩蓋了，連假眼睫毛也用上。

這與缺乏自信有關。「腹有詩書氣自華」，腹裡沒有詩書，那就只好靠虛飾，就如聖誕樹要掛滿飾物那樣來打扮自己。

更重要的是風氣、潮流。現在有沒有朋友那個年紀般漂亮的女孩子?肯定有，但誰還會以那般清純模樣示人?那些年的黑白純情照可以讓人驚歎，這些年的清純模樣根本不可以獲得最可以清純的青春少艾們接受。各方面的消費資訊、情報，包括父母的教育，都自小把孩子們朝早熟的方向催趕。十幾歲的姑娘哪裡來「卻嫌脂粉污顏色」的定力?「十八姑娘一朵花」變成「十八姑娘一假花」也就成為今時今日自然而然的事。

現代城市人還有清純期嗎?至少在樣貌上不再有。到某些「落後」地區去，你才可以找到失落了的清純。而即使是那些地方，清純也在迅速受污染。

早些年到吳哥窟旅遊，在一處遺址中見到一位小姑娘，她分明是賣花的，手執有荷花等鮮花，但不知什麼原因，就是不叫賣，冷冷地坐在一個石雕門洞上，神情孤傲，對川行而過的遊客不瞅不睬。我不知道她在想什麼，只覺得她的冷傲超乎外表的稚嫩。她很可愛，但在生活歷練下，她可以清純嗎?