一個神秘數字：0.77

日前在《紐約時報》上看到一個神秘的數字：0.77。

數字出現在一位數學家寫的文章上。這位名叫Steven Strogatz的數學家是康奈爾大學的應用數學教授，他介紹了數學家眼中的城市發展，並引出了0.77這個數字。

城市發展原來存在着一定的數學規律，例如，哈佛大學的George Zipf 一九四九年提出過一個Zipf法則，指出一個國家的大大小小城市的規模之間，存在一個固定的比例，就是最大城市的人口，是第二大城市的一倍，而第二大城市的人口，又是第三大城市人口的一倍。

這樣的法則已存在超過一百年。各國情況很不一樣，又各有外來移民的影響，城市的發展竟然有同一規律，很使人驚奇。為什麼會這樣，沒有人知道。

去年拿到諾貝爾經濟學獎的克魯格曼也研究過這個問題，並有這樣的評論：「人們常常投訴，說經濟學理論提出的模型太簡化了，把錯綜複雜的現實歸納得過於簡潔。可是Zipf法則卻告訴人們，情況恰恰相反：我們提出的模型錯綜複雜，倒是現實簡潔得令人吃驚。」

二零零六年，數學家又從城市發展中發現了一個同樣令人吃驚的規律。

無論城市大小，一些基本設施是必不可少的。城市大了，對基本設施的需求就增加。這需求是按人口比例，例如人口增加十倍，設施就要增加十倍的增加嗎?原來不是，這是按0.77次幂──也就是小於1──的比例增加的。

也就是說，城市規模大了，效率提高，較環保，對所有基礎設施的需求都一樣，例如道路、水管、電纜……都一樣。如果有不同的話，是0.7至0.9次幂之間的差異。

不單止對城市是這樣，一個生物體運用能源的效益也一樣。即是說，一個生物體的體積大些，耗用能源的效益就大些。老鼠的細胞和大象的細胞，如果分離出來做實驗，耗用能源的效益一樣。但在活生生的老鼠和大象身上，細胞消耗能源的效益就不同，大象的細胞消耗較少能源。這叫Kleiler法則，身體消耗的能源，按增加體重的0.74幂增加。

0.74與0.77是不是偶然的巧合?研究人員認為不是，而是顯示一個約為0.75的常數。

這揭示了現在常常提到的規模效應的內在秘密。一件事情，規模大了，就有效益提高帶來的好處。

這其實已是常識，煮一個雞蛋一定不及一起煮十個、一百個雞蛋划算；用洗衣機洗衣，滿載才洗最慳錢……。為什麼香港商人要向北望?道理是一樣的──規模效應，市場大了，生意做大了，生產規模大了，效益就提高，利潤就提高。

不僅經濟上是這樣，其他方面也一樣。用七百萬人城市的經驗去看13億人的國家，問題一定看不準。